Introducción al análisis de Fourier y las ondoletas /
Mark A. Pinsky
- México : Thomson, 2003
- xvi, 376 p. : fig. ; 23 cm
Incluye índice alfabético
I. SERIES DE FOURIER SOBRE EL CIRCULO 1.1 Motivación y heurística 1.1.1 Motivación de la física 1.1.1.1 La cuerda vibrante 1.1.1.2 Flujo de calor en los sólidos 1.1.2 Series trigonométricas absolutamente convergentes 1.1.3 *Ejemplos de funciones factoriales y de Bessel 1.1.4 Ejemplo del núcleo de Poisson 1.1.5 *Demostración del método de Laplace 1.1.6 *Series trigonométricas no absolutamente convergentes 1.2 Formulación de las series de Fourier 1.2.1 Coeficientes de Fourier y sus propiedades básicas 1.2.2 Series de Fourier de medidas finitas 1.2.3 *Rapideces de decaimiento de los coeficientes de Fourier 1.2.3.1 Funciones seccionalmente suaves 1.2.3.2 Caracterización de Fourier de las funciones analíticas 1.2.4 Integral senoidal 1.2.4.1 Otras demostraciones de que Si(infinito) = 1 1.2.5 Criterios de convergencia puntual 1.2.6 *Integración de las series de Fourier 1.2.6.1 Convergencias de las series de Fourier de medidas 1.2.7 Principio de localización de Riemann 1.2.8 Fenómeno de Gibbs-Wilbraham 1.2.8.1 El caso general 1.3 Series de Fourier en L2 1.3.1 Aproximación media cuadrática; teorema de Parseval 1.3.2 *Aplicación a la desigualdad isoperimétrica 1.3.3 *Rapideces de convergencia en L2 1.3.3.1 Aplicación de las series de Fourier absolutamente convergentes 1.4 Convergencia en la norma y sumabilidad 1.4.1 Identidades aproximadas 1.4.1.1 Convergencia en casi todas partes de las medias de Abel 1.4.2 Matrices de sumabilidad 1.4.3 Medias de Fejér de una serie de Fourier 1.4.3.1 Teorema de cerradura de Wiener sobre el círculo 1.4.4 *Equidistribución módulo uno 1.4.5 Teorema tauberiano de Hardy 1.5 Aproximación trigonométrica mejorada 1.5.1 Rapideces de convergencia en C(T) 1.5.2 Aproximación con las medias de Fejér 1.5.3 *Teorema de Jackson 1.5.4 *Aproximación de orden superior 1.5.5 *Teoremas inversos de Bernstein 1.6 Divergencia de las series de Fourier 1.6.1 El ejemplo de du Bois-Reymond 1.6.2 Análisis a través de las constantes de Lebesgue 1.6.3 Divergencia en el espacio L¹ 1.7 *Apéndice: Complementos acerca del método de Laplace 1.7.0.1 Primera variación del tema acerca de la aproximación gaussiana 1.7.0.2 Segunda variación mejorada del tema acerca de la estimación de error 1.7.1 *Aplicación a las funciones de Bessel 1.7.2 *El teorema del límite local de DeMoivre-Laplace 1.8 Apéndice: Demostración del teorema de la acotabilidad uniforme 1.9 *Apéndice: Funciones de Bessel de orden superior 1.10 Apéndice: Teorema de Cantor de la unicidad 2 TRANSFORMADAS DE FOURIER SOBRE LA RECTA Y EL ESPACIO 2.1 Motivación y heurística 2.2 Propiedades básicas de la transformada de Fourier 2.2.1 Lema de Riemann-Lebesgue 2.2.2 Identidades aproximadas y sumabilidad gaussiana 2.2.2.1 Identidades aproximadas mejoradas para la convergencia puntual 2.2.2.2 Aplicación a la transformada de Fourier 2.2.2.3 El núcleo n-dimensional de Poisson 2.2.3 Transformadas de Fourier de distribuciones con pesos 2.2.4 *Caracterización de la densidad gaussiana 2.2.5 *Teorema de Wiener de la densidad 2.3 Invertibilidad de la transformada de Fourier en una dimensión 2.3.1 Núcleo de Dirichlet y sumas parciales simétricas 2.3.2 Ejemplo de la función indicadora 2.3.3 Fenómeno de Gibbs-Wilbraham 2.3.4 Teorema de Dini de la convergencia 2.3.4.1 Extensión a la integral sencilla de Fourier 2.3.5 Operaciones y regularización en R¹; premediación y sumabilidad 2.3.6 Promediado y convergencia débil 2.3.7 Sumabilidad de Cesàro 2.3.7.1 Propiedades de aproximación del núcleo de Fejér 2.3.8 Desigualdad de Bernstein 2.3.9 *Representación unilateral de la integral de Fourier 2.3.9.1 Transformada cosenoidal de Fourier 2.3.9.2 Transformada senoidal de Fourier 2.3.9.3 Transformada h generalizada 2.4 Teoría de L2 en Rⁿ 2.4.1 Teorema de Plancherel 2.4.2 *Teorema de Bernstein para las transformadas de Fourier 2.4.3 El principio de incertidumbre 2.4.3.1 Principio de incertidumbre sobre el círculo 2.4.4 Análisis espectral de la transformada de Fourier 2.4.4.1 Polinomios de Hermite 2.4.4.2 Función propia de la transformada de Fourier 2.4.4.3 Propiedades de ortogonalidad 2.4.4.4 Completez 2.5 Inversión esférica de Fourier en Rⁿ 2.5.1 Procedimiento de Bochner 2.5.2 Punto de vista de la suavidad por secciones 2.5.3 Relaciones con la ecuación de onda 2.5.3.1 El método de Brandolini y Colzani 2.5.4 Sumabilidad de Bochner-Riesz 2.5.4.1 Un teorema general sobre la sumabilidad casi en todas partes 2.6 Funciones de Bessel 2.6.1 Transformadas de Fourier de funciones radiales 2.6.2 Teoremas de restricción en L2 para la transformada de Fourier 2.6.2.1 Un resultado mejorado 2.6.2.2 Limitaciones sobre el rango de p 2.7 El método de la fase estacionaria 2.7.1 Enunciado del resultado 2.7.2 Aplicación a las funciones de Bessel 2.7.3 Demostración del método de la fase estacionaria 2.7.4 Lema de Abel 3 ANALISIS DE FOURIER EN LOS ESPACIOS Lᵖ. 3.1 Motivación y heurística 3.2 El teorema de interpolación de M. Riesz-Thorin 3.2.0.1 Desigualdad generalizada de Young 3.2.0.2 Desigualdad de Hausdorff-Young 3.2.1 Teorema de Stein de la interpolación compleja 3.3 Función conjugada o transformada discreta de Hilbert 3.3.1 Teoría en Lᵖ de la función conjugada 3.3.2 Teoría en L¹ de la función conjugada 3.3.2.1 Identificación como una integral singular 3.4 Transformada de Hilbert en R 3.4.1 Teoría de la transformada de Hilbert en L2 3.4.2 Teoría de la transformada de Hilbert, Lᵖ en 1 < p < ∞ 3.4.2.1 Aplicaciones a la convergencia de las integrales de Fourier 3.4.3 Teoría de la transformada y extensiones de Hilbert en L¹ 3.4.3.1 Desigualdad de Kolmogorov para la transformada de Hilbert 3.4.4 Aplicación a las integrales singulares con núcleos impares 3.5 Función maximal de Hardy-Littlewood 3.5.1 Aplicación al teorema de Lebesgue de la diferenciación 3.5.2 Aplicación a los operadores de convolución radial 3.5.3 Desigualdades maximales para promedios esféricos 3.6 El teorema de Marcinkiewicz de interpolación 3.7 Descomposición de Calderón-Zygmund 3.8 Una clase de integrales singulares 3.9 Propiedades de las funciones armónicas 3.9.1 Propiedades generales 3.9.2 Teoremas de representación en el disco 3.9.3 Teoremas de representación en el semiplano superior 3.9.4 Teoremas de Herglotz/Bochner y las funciones definidas positivas 4 FORMULA DE LA SUMA DE POISSON Y LAS SERIES MULTIPLES DE FOURIER 4.1 Motivación y heurística 4.2 Fórmula de la suma de Poisson en R¹ 4.2.1 Periodización de una función 4.2.2 Enunciado y demostración 4.2.3 Muestreo de Shannon 4.3 Series múltiples de Fourier 4.3.1 Teoría básica en L¹ 4.3.1.1 Convergencia puntual para las funciones suaves 4.3.1.2 Representación de las sumas parciales esféricas 4.3.2 Teoría básica en L2 4.3.3 Teoremas de restricción para los coeficientes de Fourier 4.4 Fórmula de la suma de Poisson en Rᵈ 4.4.1 *No localización simultánea 4.5 Aplicación a los puntos reticulares 4.5.1 Error medio cuadrático de Kendall 4.5.2 fórmula asintótica de Landau 4.5.3 Aplicación a las series múltiples de Fourier 4.5.3.1 Caso tridimensional 4.5.3.2 Caso con dimensiones superiores 4.6 Ecuación de Schrödinger y sumas de Gauss 4.6.1 Distribuciones sobre el círculo 4.6.2 La ecuación de Schrödinger sobre el círculo 4.7 Recurrencia del camino aleatorio 5 APLICACIONES A LA TEORIA DE PROBABILIDADES 5.1 Motivación y heurística 5.2 Definiciones básicas 5.2.1 El teorema del límite central 5.2.1.1 Reenunciado en términos de variables aleatorias independientes 5.3 Extensión hacia las series con n no consecutivos 5.3.1 Extensión hacia las sumas de Abel 5.4 Convergencia débil de las medidas 5.4.1 Teorema mejorado de continuidad 5.4.1.1 Otra demostración del teorema de Bochner 5.5 Semigrupos de convoluciones 5.6 Teorema de Berry-Esséen 5.6.1 Extensión a las distribuciones diferentes 5.7 Ley del logaritmo iterado 6 INTRODUCCIÓN A LAS ONDOLETAS 6.1 Motivación y heurística 6.1.1 Tratamiento heurístico de la transformada por ondoleta 6.2 Transformada por ondoleta 6.2.0.1 Caracterización de la suavidad por ondoletas 6.3 Desarrollo de Haar en ondoletas 6.3.1 Funciones y serie de Haar 6.3.2 Sumas de Haar y proyecciones diádicas 6.3.3 Completud de las funciones de Haar 6.3.3.1 Serie de Haar en los espacios C₀ y L ᵖ 6.3.3.2 Convergencia puntual de la serie de Haar 6.3.4 *Construcción del movimiento browniano estándar 6.3.5 *Representación en funciones de Haar del movimiento browniano 6.3.6 *demostración de la continuidad 6.3.7 *Módulo de continuidad de Lévy 6.4 Análisis de multirresolución 6.4.1 Sistemas ortonormales y sistemas de Riesz 6.4.2 Ecuaciones de escala y constantes de estructura 6.4.3 De la función de escala al AMR 6.4.3.1 Observaciones adicionales 6.4.4 Ondoletas de Meyer 6.4.5 De la función de escala a la ondoleta ortonormal 6.4.5.1 demostración directa de que V₁* Vₒ es generado por K ∈ Z 6.4.5.2 Integrabilidad nula de las ondoletas sin funciones de escala 6.5 Ondoletas con soporte compacto 6.5.1 Del filtro de escala a la función de escala 6.5.2 Construcción explícita de ondoletas compactas 6.5.2.1 Modelo de Daubechies 6.5.2.2 Modelo de Hernández-Weiss 6.5.3 Suavidad de las ondoletas 6.5.3.1 Un resultado negativo 6.5.4 Extensión de Cohen del teorema 6.5.1 6.6 Propiedades de convergencia de los desarrollos en ondoletas 6.6.1 Series de ondoletas en los espacios Lp 6.6.1.1 Análisis de escala grande 6.6.1.2 Convergencia casi en todas partes 6.6.1.3 Convergencia en un punto preasignado 6.6.2 Teoremas de aproximación de Jackson y Bernstein 6.7 Ondoletas en varias variables 6.7.1 Dos ejemplos importantes 6.7.1.1 Producto tensorial de ondoletas 6.7.2 Formulación general del AMR y las ondoletas en Rd 6.7.2.1 Notaciones para subgrupos y clases de equivalencia 6.7.2.2 Los sistemas de Riesz y los sistemas ortonormales en Rd 6.7.2.3 Ecuación de escala y constantes de estructura 6.7.2.4 Existencia del conjunto de ondoletas 6.7.2.5 demostración de que el conjunto de ondoletas genera V1 * V0 6.7.2.6 Teorema de Cohen en Rd 6.7.3 Ejemplos de ondoletas en Rd